原创：中科院物理所

　　假如我们真的抓住了一个空气分子，会看到什么？

　　它不会像天气图上的箭头那样，规规矩矩地向东或向西。它以每秒数百米的典型速度横冲直撞，不断碰撞、转向。房间里明明没有风，它却一刻也不安静。

　　那么，天气图上一阵每秒五米的风，又藏在哪里？

　　如果知道每个分子的位置、速度和碰撞规律，我们能否从牛顿定律出发，逐步“写出”温度、压强与流动，最后得到描述风的方程？

　　2026年，王虹与邓煜登上菲尔兹奖领奖台。国际数学联盟特别提到邓煜从稀薄硬球动力学严格导出玻尔兹曼方程的工作，他们与扎赫尔·哈尼、马骁又把道路推进到了流体方程。

　　它在追问一个关键的问题，那就是我们凭什么相信，由亿万颗粒子共同造成的风，真的能够从支配单个粒子的物理定律中生长出来？

　　01 领奖台上，聚焦的是一道什么难题？

　　1900年，希尔伯特提出一组数学问题。其中第六问题的目标格外宏大，也为物理理论中的公理与极限过程建立坚实基础。后来，它孕育出一条代表性路线。

　　让我们想象一盒稀薄气体。把镜头推近，我们看到服从牛顿定律、碰撞时守恒动量和能量的粒子；拉远一些，看到粒子在位置与速度上的统计分布；再拉远，气体成为由密度、温度、压强和速度描述的连续流体。

　　一盒稀薄气体

　　同一团物质，却能够拥有着三套语言。

　　微观：每个粒子在哪里、速度多大；

　　介观：某处具有某种速度的粒子有多少；

　　宏观：这里的密度、温度和平均流速是多少。

　　牛顿方程、玻尔兹曼方程和流体方程，就在分别说着这些“语言”。方程都有了，而且很是明白了，它们之间，差着一座百余年仍未完全走通的桥。

　　此次菲尔兹奖便照亮了这其中的关键路段。

　　02 用经典物理解决问题的鸿沟是什么？

　　室温下，空气分子的热运动典型速度可达每秒数百米，远大于微风。教室里却没有“高速狂风”，因为杂乱的运动在大尺度上彼此抵消。可以把某个分子的速度写成：

　　其中，u 表示附近大量分子的平均速度，即宏观气流的速度。ci 是无规则热运动。风，主要藏在平均值 u 里。温度，则与热运动偏离平均值的强弱有关。

　　没有风时，分子并未停下，只是速度矢量的平均值接近零。平均速度小，不等于每个分子的速率小。

　　现实中的风由气压梯度驱动，并受地球自转、摩擦和地形等影响。那么，描述气流的方程为何能从分子运动中产生？

　　一颗分子本身也没有“这一小颗的温度”或“压强”。温度衡量大量粒子无规则运动的强弱；压强与粒子怎样传递动量有关。用群体概念来理解就是，一个学生的脚步不能代表全校人流情况，统计却能显出拥挤与方向。

　　若气体中有 N 个粒子，记录位置和速度就需要约 6N 个变量。真实的 N 大得惊人，我们无法逐个跟踪。

　　于是，物理学换了一种研究法，不去追踪某颗有名字的分子了，而去研究这些分子的分布函数

　　它表示时刻 t、位置 x 附近、速度接近 v的粒子有多少。粒子失去了单独的姓名，我们选择留下这些粒子的“群体画像”。

　　玻尔兹曼方程描述这幅“画像”怎样演化。下面的方程左边是自由飞行，右边是碰撞造成的增减：

　　鸿沟就在这里，两颗粒子撞过以后便有了关联，它们又会传播这段“共同经历”，甚至再次相遇。玻尔兹曼方程却要在恰当意义上把即将相撞的粒子视作近似独立。这个假设不能靠一句“气体很稀”完成证明。

　　还必须证明，当粒子数增多、直径减小且稀薄程度按合适比例变化时，复杂关联仍受控制，牛顿硬球系统会趋近玻尔兹曼方程。再在另一尺度极限下，分布收拢成密度、速度、温度等少数变量，并满足流体方程。

　　所以我们发现了真正的路线，就是从每颗粒子的确定运动，经过大量粒子的统计分布，再走向流体的集体规律。

　　03 这座从粒子到流体的桥怎样搭起来？

　　粒子世界——每次碰撞都要“留痕”

　　在研究采用的理想模型中，粒子是具有有限直径的硬球，相遇时发生瞬时弹性碰撞，守恒总动量和总动能。两次碰撞之间沿直线自由飞行。

　　硬球没有对真实空气全部细节的复制，却保留了稀薄气体的关键结构，比如自由飞行、短程碰撞和守恒律。问题是，当粒子数趋于巨大时，这些微观运动是否会呈现同一种统计规律。

　　动理学世界——不去问“它是谁”，只问“有多少”

　　从分布函数 f 对速度做不同的加权平均，就能提取密度、平均流速和温度等宏观量。这像把体育场内每名观众的坐标压缩成各入口的人数、方向和拥挤程度，虽然信息少了，但保留了大尺度结构。

　　已有的短时间结果，就像证明一座桥能让人走出前几米，却还无法保证能抵达对岸——时间一长，碰撞树急剧分叉，再碰撞和高阶关联成倍增多，误差可能沿着整个“碰撞家谱”积累。

　　邓煜、哈尼和马骁的工作，关键推进正发生在这里。

　　在硬球动力学论文中，他们构造了保存完整碰撞历史的长时间累积量方法。为组织众多碰撞关系，他们把相关的碰撞图称作“分子”，再用精细的切割算法分析其组合结构，证明高阶累积量保持足够小。

　　说得直白一些，他们没有假装复杂碰撞不存在，而是为复杂碰撞建立了一套严密的“族谱管理法”，证明最麻烦的关联虽然还是会有，但不会在所研究的极限中失控了。

　　由此，从硬球系统导出玻尔兹曼方程的有效时间，由短时间推进到任意长时间——必须加上限定：只要对应的玻尔兹曼方程解仍然存在。

　　流体世界——亿万速度浓缩成几个场

　　玻尔兹曼方程仍要同时处理位置和速度。要得到“风的方程”，还须证明在恰当尺度下，频繁碰撞使局部分布接近平衡，而缓慢变化的密度、速度和温度遵循流体方程。

　　在另一篇论文中，三位研究者把前面的长时间结果与动理学到流体力学的极限分析接起来，从硬球粒子系统出发，严格导出了包括可压缩欧拉方程、不可压缩纳维—斯托克斯—傅里叶方程在内的基本流体偏微分方程。

　　欧拉方程描述忽略黏性时的理想流体。纳维—斯托克斯—傅里叶体系还包含黏性与热传导。它们是空气动力学、工程流动和天气模型的重要理论基础。

　　于是，三层语言第一次在这一模型与尺度框架下被一条严格的证明链连接起来：牛顿硬球动力学 → 玻尔兹曼动理学 → 欧拉方程或纳维—斯托克斯—傅里叶方程。

　　前一个箭头把“逐个追踪”变成“统计分布”，后一个箭头再把分布压缩为少数宏观场。获奖工作的重要性，正在于让两段桥不只各自存在，还能在同一条推导道路上衔接。

　　这说明，至少对所研究的稀薄硬球系统，宏观规律能够作为大量微观运动的极限，从经典力学中生长出来。

　　这正是获奖工作在整座桥中的作用。国际数学联盟明确强调了邓煜从稀薄气体硬球动力学严格导出玻尔兹曼方程的贡献。合作论文中的工作内容又把推导链连接到流体方程。

　　04 为什么这座桥让科学家走了百余年？

　　也许你会问，既然粒子服从牛顿定律，流体由粒子组成，为什么不能把方程直接相加，取个平均就结束？

　　因为“平均”从来不是一个万能的自动按钮。

　　1975年发表的兰福德定理，曾经筑起一块里程碑式的理论——在稀薄硬球气体的适当极限下，可以从粒子动力学严格导出玻尔兹曼方程。但证明只覆盖很短的时间，远不足以到达宏观流体演化所需要的长时间尺度。此后近半个世纪，怎样把这段路继续延长，一直是核心障碍之一。

　　牛顿定律、动量守恒、温度和压强并非孤立的知识点。继续追问，就会走到概率、偏微分方程、空气动力学乃至气候科学的交界处。一个平均值、一次弹性碰撞，也可能是通往前沿的第一块踏板。

　　真实分子比硬球复杂，稠密流体与湍流仍有深邃难题，三维纳维—斯托克斯方程的整体光滑性也未解决。每一扇被推开的门，都会显出更辽阔的走廊。

　　所以，未来的年轻人不必只做知识的接收者。

　　你可以问：“为什么？”  也可以继续问：“凭什么？”  还可以再问：“如果条件改变，结论会怎样？”这些问题看似稚嫩，却正是科学把“想当然”变成“确实如此”的起点。

　　也许某一天，当你在窗边感到一阵风，不只会想到空气从高压处流向低压处，还会想到无数分子正在高速碰撞；想到混乱之中如何长出平均值，个体规则如何汇成集体秩序；想到有人为连接这两个世界，走了百余年。

　　而下一段尚未搭好的桥，可能正等着你。

　　我们都是这样年轻地走向未来

　　主要参考资料

　　1. International Mathematical Union, [Fields Medals 2026].

　　2. Yu Deng, Zaher Hani, Xiao Ma, [Long time derivation of the Boltzmann equation from hard sphere dynamics], arXiv:2408.07818.

　　3. Yu Deng, Zaher Hani, Xiao Ma, [Hilbert's sixth problem: derivation of fluid equations via Boltzmann's kinetic theory], arXiv:2503.01800.

　　4. NASA Glenn Research Center, [Gas Temperature]、[Gas Pressure]与 [Navier–Stokes Equations].

　　5. NOAA JetStream, [The Origin of Wind].

　　6. ECMWF, [Earth System Modelling at ECMWF].